Mimir Kopfrechnen ist eine Applikation für das iPhone, iPod touch, iPad und Mac.
Sie enthält nicht nur eine riesige Sammlung von Kopfrechentricks, du kannst auch jeden Trick gleich üben. Es werden ausserdem nicht nur spezielle Tricks beschrieben, die Applikation enthält auch generelle Strategien für Matheaufgaben, bei denen kein spezieller Trick angewandt werden kann.

Die Applikation hat zwei Teile: Die Lektionen und das Training. In den Lektionen kannst du lernen, wie man die Kopfrechentricks anwendet und diese gleich üben. Es gibt momentan 27 Lektionen (mit bis zu 3 Tricks pro Lektion), für:
-Addition
-Subtraktion
-Multiplikation
-Division
-Teilbarkeit
-Quadrieren
-Wochentag für jedes Datum bestimmen

In einem zweiten Teil dieses Programms, dem Training, werden dir Matheaufgaben mit steigendem Schwierigkeitsgrad gestellt. Das Ziel hier ist nicht nur, besser und schneller zu werden, du lernst auch, welcher Trick für die jeweils aktuelle Aufgabe am sinnvollsten ist. Zu diesem Zweck gibt es im Trainingsteil einen Hilfeknopf. Wenn man diesen Knopf drückt, dann sucht das Programm nach demjenigen Trick oder Tipp, welcher am hilfreichsten sein könnte, um die aktuelle Matheaufgabe zu lösen.

Zusätzliche Eigenschaften:
-Zwei Sprachen: Alle Texte sind in englisch und in deutsch.
-Benutzermanagement: Mehrere Benutzer können das gleiche Gerät verwenden. Die Applikation speichert die Einstellungen und die Position im Training für jeden Benutzer separat.
-Zwei unterschiedliche Oberflächendesigns: Verwende einen blau flackernden Hintergrund mit weissem Text, der ausssieht wie aus einem Science Fiction Film. Oder wechsle zu einem einfacheren Hintergrund mit weissem Papier und schwarzem Text.

Kopfrechentricks

Hier sind einige der Texte von der Applikation. Dies ist nur ein kleiner Ausschnitt aus den Tricks, die du darin lernen wirst.

Multiplikation

Multiplikation von einstelligen Zahlen

Multiplikationen von einer einstelligen Zahl mit einer anderen einstelligen Zahl sind relativ einfach. Sie sind jedoch die Grundlage von allen komplizierteren Multiplikationen.

Mit ein bisschen Übung wirst du alle Resultate auswendig kennen. Es braucht daher keine wirklichen Tricks bei diesen Multiplikationen, aber es gibt trotzdem ein paar Methoden, die das Rechnen erleichtern.

Multiplikation mit 2:

Bei Multiplikationen mit 2 kannst du die Zahl zu sich selbst addieren, wenn du Additionen einfacher findest.

Multiplikation mit 4 oder 8:

Anstelle einer Multiplikation mit 4 kann man auch zweimal mit 2 multiplizieren. Oder dreimal mit 2, wenn man mit 8 multiplizieren will.

Multiplikation mit 5:

Wenn man eine gerade Zahl mit 5 multipliziert, endet das Resultat immer mit einer 0, und bei ungeraden Zahlen immer mit einer 5. Schau also die Zahl an, die du mit 5 multiplizieren willst.
Ist sie gerade, teile sie durch 2 und füge auf der rechten Seite eine 0 an. Ist die Zahl ungerade, subtrahiere 1 von der Zahl, teile sie durch 2 und füge auf der rechten Seite eine 5 an.

Beispiel:

7 x 5 =

Schritt 1: 7 ist ungerade: 7 - 1 = 6
Schritt 2: 6 ÷ 2 = 3
Schritt 3: 7 ist ungerade: füge eine 5 hinzu.

Resultat: 35

Multiplikation mit 9:

Es ist leicht, sich alle möglichen Kombinationen von einstelligen Zahlen mit 9 zu merken, da es ein einfaches Muster in diesen Resultaten gibt. Die Ziffern der Zehnerstellen sind immer um eins kleiner als die originale Zahl. Und wenn man die Einerstelle zur Zehnerstelle addiert, gibt es immer 9.

Beispiel:

7 x 9 =

Schritt 1: Zehnerstelle: 7 - 1 = 6
Schritt 2: Einerstelle: 9 - 6 = 3

Resultat: 63 Falls dir gar nichts mehr einfällt, wenn du eine Multiplikation mit 9 machen musst, kannst du auch folgendes tun:

Strecke beide Hände vor dich hin, Finger sind gestreckt. Nehmen wir 6 x 9 als Beispiel. Zähle zum 6. Finger und zieh ihn ein. Zähle nun einfach die Finger, die immer noch auf der rechten Seite des eingezogenen Fingers stehen, und auch diejenigen der linken Seite.

Im Fall von 6 x 9 stehen noch 5 Finger auf der linken und 4 Finger auf der rechten Seite. Das Resultat ist also: 54.

Multiplikation mit 5

Um eine Zahl mit 5 zu multiplizieren, kann es einfacher sein, die Zahl zuerst mit 10 zu multiplizieren und dann durch 2 zu teilen.

Da eine Multiplikation mit 10 sehr einfach ist (alle Ziffern nach links schieben und eine 0 hinzufügen, wenn es keine Kommastellen hat), und eine Division durch 2 auch nicht besonders schwierig ist, kann dies einfacher sein als eine direkte Multiplikation mit 5.

Beispiel:

389 x 5 =

Schritt 1: 389 x 10 = 3890
Schritt 2: 3890 ÷ 2 = 1945

Resultat: 1945

Dies funktioniert auch, wenn man grössere Zahlen mit 5 multipliziert.

Eine Multiplikation einer geraden Zahl mit 5 endet immer mit einer 0, und bei einer ungeraden Zahl immer mit 5.

Also können Multiplikationen mit 5 auch so gelöst werden:
Betrachte die Zahl, die mit 5 multipliziert werden soll. Ist sie gerade, teile sie durch 2 und füge eine 0 auf der rechten Seite hinzu. Falls sie ungerade ist, subtrahiere 1 von der Zahl, teile sie durch 2 und füge rechts davon eine 5 hinzu.

Beispiel:

389 x 5 =

Schritt 1: 389 ist ungerade: 389 - 1 = 388
Schritt 2: 388 ÷ 2 = 194
Schritt 3: 389 ist ungerade: füge eine 5 auf der rechten Seite der Zahl hinzu

Resultat: 1945

Multiplikation mit 10

Eine Zahl mit 10 zu multiplizieren ist sehr einfach. Füge einfach eine 0 auf der rechten Seite der Zahl hinzu. Falls die Zahl Kommastellen hat, bewege das Komma einfach um eine Stelle nach rechts.

Beispiel:

849 x 10 =

Schritt 1: Füge eine 0 auf der rechten Seite der Zahl hinzu: 8490

Resultat: 8490

Multiplikation mit 11

Multiplikationen mit 11 sind ideal, um Freunden zu demonstrieren, wie gut man in Mathe ist, da sie viel komplizierter aussehen, als sie wirklich sind.

Um Zahlen unter 10 mit 11 zu multiplizieren, kann man die Zahl einfach nochmals bei der Zehnerstelle hinschreiben. Zum Beispiel ist 3 x 11 = 33, 6 x 11 = 66 usw.

Bei grösseren Zahlen kann man folgende Methode anwenden:

Beginnen wir mit einem leichten Beispiel:

43 x 11 =

Bewege beide Ziffern auseinander, addiere sie (4 + 3) und schreibe das Resultat zwischen die beiden anderen Ziffern:
4 7 3

Das Resultat von 43 x 11 ist also 473. Das ist einfach, oder?

Es war in diesem Fall einfacher, da die Summe von 4 und 3 nicht grösser als 9 ist, und daher kein Übertrag entstand. Wenn die Summe grösser als 10 ist, dann übertrage die 1 (die maximale Summe hier ist 9 + 9 = 18, der Übertrag wird also nie grösser als 1 sein) auf die linke Ziffer.

Beispiel:

85 x 11 =

Schritt 1: 8 + 5 = 13
Schritt 2: 8 13 5
Schritt 3: Übertrage die 10 von 13 zur 8:
935

Resultat: 935

Diese Methode funktioniert auch bei grösseren Zahlen.

Beispiel:

5983 x 11 =

Schritt 1: Bewege die äusseren Ziffern auf die Seite:
5___3

Schritt 2: Addiere jede Ziffer zur Ziffer der nächstkleineren Stelle:
5
5 + 9 = 14
9 + 8 = 17
8 + 3 = 11
3

Schritt 3: Addiere die Überträge zur jeweils linken Ziffer:
5 + 1 = 6
4 + 1 = 5
7 + 1 = 8
1
3

Resultat: 65813

Die Einerziffer bleibt immer gleich, daher ist es ein bisschen leichter, die Rechnung von rechts nach links durchzuführen.
Für längere Zahlen ist es von links nach rechts leichter (da man sich weniger Ziffern merken muss), aber man muss bei den Überträgen aufpassen.

Beispiel:

99999 x 11 =

Schritt 1: 9 9+9 9+9 9+9 9+9 9
Schritt 2: Überträge: 9+1 8+1 8+1 8+1 8 9

Resultat: 1099989

Multiplikation von Zahlen zwischen 11 und 19

Es gibt eine spezielle Methode, um zwei Zahlen zu multiplizieren, die beide zwischen 11 und 19 liegen.

Beispiel:

13 x 17 =

Schritt 1: Addiere die Einerstelle der zweiten Zahl zur kompletten anderen Zahl (oder umgekehrt): 13 + 7 = 20

Schritt 2: Multipliziere das Resultat von Schritt 1 mit 10: 20 x 10 = 200

Schritt 3: Multipliziere die Einerstellen der beiden Zahlen: 3 x 7 = 21

Schritt 4: Addiere die Resultate von Schritt 2 und 3, um das schlussendliche Resultat zu erhalten:

200 + 21 = 221

Ein anderes Beispiel:

15 x 19 =

Schritt 1: 15 + 9 = 24
Schritt 2: 24 x 10 = 240
Schritt 3: 5 x 9 = 45
Schritt 4: 240 + 45 = 285

Resultat: 285

Multiplikation von Zahlen nahe bei Zehnerpotenzen

Diese Methode funktioniert zwar bei allen Multiplikationen, sie macht jedoch nur wirklich Sinn, wenn beide Zahlen in der Nähe einer Potenz von 10 liegen (also in der Nähe von 10, 100, 1000 usw.). Sie funktionert so:

Beispiel:

93 x 86 =

Schritt 1: Benutze als Basis diejenige Potenz von 10, welche am nächsten zu beiden Zahlen liegt (in diesem Fall: 100)

Schritt 2: Berechne für beide Zahlen die Differenz zur Basis. Du kannst dafür die Komplementmethode benutzen.
100 - 93 = 7
100 - 86 = 14

Schritt 3: Subtrahiere eine der Differenzen aus Schritt 2 von der anderen Ausgangszahl (es spielt keine Rolle welche von welcher).
93 - 14 = 79 (oder 86 - 7 = 79)

Dadurch erhälst du den linken Teil des Resultats.

Schritt 4: Multipliziere die beiden Differenzen aus Schritt 2 miteinander für den rechten Teil des Resultats:
7 x 14 = 98

Schritt 5: Setze diese beiden Teile zusammen, um das schlussendliche Resultat zu bekommen: 79 98.
Oder du kannst auch das Resultat aus Schritt 3 mit der Basis multiplizieren und dann zum Resultat aus Schritt 4 addieren: 79 x 100 + 98.

Resultat: 7998

Denk an die Überträge, falls das Resultat aus Schritt 4 grösser als die Basis ist.

Beispiel:

85 x 86 =

Schritt 1: Basis: 100
Schritt 2:
100 - 85 = 15
100 - 86 = 14
Schritt 3: 85 - 14 = 71 (oder 86 - 15 = 71)
Schritt 4: 15 x 14 = 210
Schritt 5: Der linke Teil ist 71 und der rechte Teil 210, also übertrage die 2 vom rechten Teil auf den linken. Dies ist natürlich nicht nötig, wenn du zuerst den linken Teil mit der Basis multiplizierst und dann beide Zahlen zusammenzählst (71 x 100 + 210).

Resultat: 7310

Wenn beide Ausgangszahlen grösser als die Basis sind, dann musst du die Differenzen in Schritt 3 addieren, nicht subtrahieren.

Beispiel:

112 x 105 =

Schritt 1: Basis: 100
Schritt 2:
112 - 100 = 12
105 - 100 = 5
Schritt 3: 112 + 5 = 117 (oder 105 + 12 = 117)
Schritt 4: 5 x 12 = 60
Schritt 5: 117 60

Resultat: 11760

Wenn nur eine der Zahlen grösser als die Basis ist und die andere kleiner, dann musst du entweder die Differenz der grösseren Zahl in Schritt 2 addieren, oder die Differenz der kleineren Zahl subtrahieren.

Und der rechte Teil, der in Schritt 4 berechnet wurde, muss am Ende vom linken Teil (multipliziert mit der Basis) subtrahiert werden.

Beispiel:

125 x 98 =

Schritt 1: Basis: 100
Schritt 2:
125 - 100 = +25
98 - 100 = -2
Schritt 3: 125 - 2 = 123 (oder 98 + 25 = 123)
Schritt 4: 2 x 25 = 50
Schritt 5: 123 x 100 - 50 =

Resultat: 12250

Eine gute Möglichkeit, sich daran zu erinnern, wann subtrahiert und wann addiert werden muss, ist, wenn man daran denkt, dass eine Multiplikation von minus mit minus ein positives Resultat ergibt, wie auch eine Multiplikation einer positiven Zahl mit einer anderen positiven Zahl.

Wird jedoch eine negative Zahl mit einer positiven multipliziert (wie im dem Fall, wenn eine Zahl grösser als 100 ist und die andere kleiner), dann ergibt es ein negatives Resultat, daher muss in diesem Fall in Schritt 5 subtrahiert werden.

Division

Division durch 5

Eine Division durch 5 kann vereinfacht werden, indem man die Zahl stattdessen mit 2 multipliziert und dann durch 10 dividiert.

Beispiel:

3165 ÷ 5 =

Schritt 1: 3165 x 2 = 6330
Schritt 2: 6330 ÷ 10 = 633

Resultat: 633

Division durch 9

Bei der Division durch 9 gibt es die Möglichkeit, Reste zusammenzuzählen und so die Division einfacher zu machen. Als Einleitung zu dieser Methode wirst du lernen, wie man den Rest einer Division durch 9 ermitteln kann.

Um den Rest einer Division durch 9 herauszufinden, kann man alle Ziffern einer Zahl aufsummieren. Bei einer Teilung von 6824 durch 9 rechnet man 6 + 8 + 2 + 4 = 20 = 2 + 0 = 2 und erhält so einen Rest von 2.

Dies funktionert, weil es für jeden Zehnerwert, der durch 9 geteilt wird, einen Rest von 1 hat, also hat z.B. 30 geteilt durch 9 einen Rest von 3. Und für jeden Hunderterwert ergibt es auch einen Rest von 1 (da die nächstkleinere durch 9 teilbare Zahl 99 ist), und auch für jeden Tausenderwert usw...

Wenn man also alle Ziffern aufsummiert, dann summiert man gleichzeitig auch die Resten.

Dieses Wissen kann für Divisionen durch 9 verwendet werden. Nehmen wir 62 ÷ 9 als einfaches Beispiel. Nimm zuerst die vorderste Ziffer der Zahl (6) für den Anfang des Resultats. Dann berechne die Summe der Resten: 6 + 2 = 8.
62 ÷ 9 ergibt also 6 mit einem Rest von 8. Einfach, oder?

Wenn die Summe der Resten grösser als 9 ist, dividiere sie durch 9 und addiere dieses Resultat zur vorherigen Ziffer des schlussendlichen Resultats. Benutze den Rest der vorherigen Division für die weitere Berechnung.

Beispiel:

837 ÷ 9 =

Schritt 1: Nimm die erste Ziffer als Anfang des Resultats: 8
Schritt 2: 8 + 3 = 11, was grösser als 9 ist, also 11 ÷ 9 = 1, Rest 2
Schritt 3: Addiere die 1 zur ersten Ziffer: 92
Schritt 4: 2 + 7 = 9, also addiere 1: 93, Rest 0

Resultat: 93

Ein Beispiel mit Rest:

3443 ÷ 9 =

Schritt 1: Erste Zahl: 3
Schritt 2: 3 + 4 = 7 ? 37
Schritt 3: 7 + 4 = 11; 11 ÷ 9 = 1, Rest 2 ? 382
Schritt 4: 2 + 3 = 5

Resultat: 382, mit einem Rest von 5

Division durch 10

Falls auf der rechten Seite der Zahl eine 0 ist, dann kann diese einfach weggenommen werden bei einer Division durch 10. Falls nicht, dann füge ein Komma zwischen der letzten Ziffer und dem Rest der Zahl hinzu (oder falls es bereits ein Komma hat, bewege dieses nach links).

Beispiel:

93481 ÷ 10 =

Resultat: 9348.1

Teilbarkeit

Teilbarkeit durch 2

Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer der Zahl gerade (0, 2, 4, 6 oder 8) ist.

Beispiel:

46236758

Überprüfe: Ist die letzte Ziffer gerade?

Teilbarkeit durch 3

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist.

Wenn die Summe der Ziffern eine mehrstellige Zahl ergibt, können auch hier die Ziffern wieder aufsummiert werden, bis man eine einstellige Zahl erhält. Falls diese einstellige Zahl 0, 3, 6 oder 9 ist, dann ist auch die originale Zahl durch 3 teilbar.

Beispiel:

46236759

Summe aller Ziffern:
4 + 6 + 2 + 3 + 6 + 7 + 5 + 9 = 42

Summiere erneut:
4 + 2 = 6

Überprüfe: Ist die finale Summe 0, 3, 6 oder 9?

Teilbarkeit durch 4

Um die Teilbarkeit durch 4 zu überprüfen, muss man nur die letzten zwei Ziffern der Zahl betrachten. Da 100 ohne Rest durch 4 teilbar ist, kann man alles ausser den letzten beiden Ziffern ignorieren.

Wenn die erste dieser Ziffern (die Zehnerstelle) gerade ist, muss die andere Ziffer 0, 4 oder 8 sein. Falls die erste Ziffer ungerade ist, muss die letzte Ziffer 2 oder 6 sein. Ist dies der Fall, ist die Zahl durch 4 teilbar.

Beispiel:

46236756

Nimm nur die letzten zwei Stellen:
56

Überprüfe: Die erste Ziffer (5) ist ungerade, also ist die letzte Ziffer 2 oder 6?

Teilbarkeit durch 5

Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 oder 5 ist. Einfach, oder?

Beispiel:

46236755

Überprüfe: Ist die letzte Ziffer eine 5 oder eine 0?

Quadrieren

Quadieren von Zahlen, die mit 5 enden

Um Zahlen zu quadrieren, die mit einer 5 enden, kann man folgendes tun:

Schritt 1: Nimm die Zahl, die durch die anderen Ziffern geformt wird (also alle ausser der 5).
Schritt 2: Multipliziere diese Zahl mit sich selbst + 1.
Schritt 3: Setze eine 25 an die linke Seite des Resultats.

Beispiel:

85²

Schritt 1: 8
Schritt 2: 8 x (8 + 1) = 72
Schritt 3: 72 25

Resultat: 7225

Quadrieren von Zahlen zwischen 50 und 59

Es gibt eine einfache Möglichkeit, um Zahlen zwischen 50 und 59 zu quadrieren:

Schritt 1: Addiere die Ziffer der Einerstelle zu 25.
Schritt 2: Quadriere die Ziffer der Einerstelle.
Schritt 3: Setze das Resultat aus Schritt 2 an die rechte Seite vom Resultat aus Schritt 1 (als 2 Stellen, also falls das Resultat 9 ist, setze eine 09 hin).

Beispiel:

52²

Schritt 1: 25 + 2 = 27
Schritt 2: 2² = 4
Schritt 3: 2704

Resultat: 2704

Quadrieren von Zahlen zwischen 26 und 75

Es gibt eine spezielle Methode, um Zahlen zwischen 26 und 75 zu quadrieren, aber man muss dazu alle Quadrate von Zahlen zwischen 1 und 25 bereits kennen oder auf andere Weise berechnen können.

Schritt 1: Berechne die Differenz zwischen der Zahl und 25, und multipliziere sie mit 100.
Schritt 2: Quadriere die Differenz zwischen der Zahl und 50.
Schritt 3: Addiere die Resultate aus Schritt 1 und Schritt 2.

Beispiel:

61²

Schritt 1: 61 - 25 = 36
36 x 100 = 3600
Schritt 2: (61 - 50)² = 121
Schritt 3: 3600 + 121 = 3721

Resultat: 3721

Quadrieren von Zahlen in der Nähe von 1000

Die Methode, um Zahlen zu quadrieren, die in der Nähe von 1000 liegen, ist ähnlich zur Methode bei Zahlen nahe von 100:

Schritt 1: Berechne die Differenz zwischen der Zahl und 1000.
Schritt 2: Wenn die Zahl grösser als 1000 ist, addiere die Differenz aus Schritt 1 zur Zahl. Sonst subtrahiere sie.
Schritt 3: Multipliziere das Resultat aus Schritt 2 mit 1000.
Schritt 4: Quadriere die Differenz und addiere dies zum Resultat aus Schritt 3.

Beispiel:

986²

Schritt 1: Differenz zwischen 1000 und 986: 14
Schritt 2: 986 ist kleiner als 1000: 986 - 14 = 972
Schritt 3: 972 x 1000 = 972000
Schritt 4: 14² + 972000 = 196 + 972000 = 972196

Resultat: 972196